Пусть точка D лежит в плоскости треугольника ABC. Обозначим это расстояние как h.

Так как точка D расположена на одинаковом расстоянии от каждой из вершин треугольника ABC, то она находится в центре окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Так же, точка D располагается на равном расстоянии от середин сторон треугольника ABC. Найдем центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Для этого построим отрезки, соединяющие середины сторон треугольника ABC и найдем их пересечение.

Получим, что центр описанной окружности находится в точке O, которая является серединой стороны AC.

Так как треугольник AOC является равнобедренным, центр окружности O лежит на высоте этого треугольника и расстояние от центра до основания равно h.

Так же, расстояние от точки O до каждой из вершин треугольника ABC равно 5 см, так как это радиус описанной окружности.

Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AOD, получим:
(AD)^2 = (AO)^2 + (OD)^2
(AD)^2 = 4^2 + 5^2
(AD)^2 = 16 + 25
(AD)^2 = 41
AD = √41 см

Следовательно, расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC равно √41 см.