Пусть высота треугольника равна h, а основание равно 60 (половина боковой стороны).

Так как центр описанной окружности делит высоту треугольника в отношении 12:5, то сегмент высоты, отсекаемый центром окружности, равен 12h / 17 и 5h / 17.

Поскольку треугольник равнобедренный, центр описанной окружности также является вершиной перпендикуляра, опущенного из вершины до основания треугольника. Поэтому сегментов высоты два.

Тогда можем составить уравнения:

12h / 17 = h - x

5h / 17 = x

где x - отрезок, равный половине основания треугольника, что равно 30.

Из этих уравнений находим, что h = 255 / 8.

Высоту треугольника и сторону можно найти по теореме Пифагора и равнобедренности треугольника:

a = sqrt(h^2 + (60 / 2)^2) = sqrt((255 / 8)^2 + 30^2) = sqrt(42025 / 16) = 65

Площадь равнобедренного треугольника равна S = 1/2 a h = 1/2 65 255 / 8 = 2550.

Итак, площадь этого треугольника равна 2550.