Для начала построим сечение куба плоскостью, параллельной плоскости AB1C и проходящей через точку М.

Так как точка М - середина ребра A1D1, то она также является серединой ребра BD $таккакMB=MD$. Проведем прямую, проходящую через точку М и параллельную ребру A1C1. Она пересечет ребро AB в точке N и ребро CD в точке P.

Теперь проведем прямую, проходящую через точку P и параллельную ребру BC. Она пересечет ребро AD в точке Q.

Таким образом, получим треугольник MPQ, который и будет нашим сечением.

Теперь найдем площадь треугольника MPQ. Поскольку MP параллельна AD и MQ параллельна BQ, то треугольник MPQ подобен треугольнику ADQ.

Так как MD равно половине AD, то длина MD равна стороне куба, то есть а. Также, так как площадь сечения равна 9√3 см^2, то S$MPQ$ = 9√3.

Площадь треугольника ADQ равна 1/2 a a = a^2/2.

Площади подобных треугольников связаны соотношением площадей их сторон:

$S(MPQ)/S(ADQ)$ = $M{P}^2/D{Q}^2$ = $M{D}^2/A{D}^2$.

Подставляем известные значения:

$9\surd 3/(a^2/2)$ = $a/AD$^2

AD = a * $\surd 2/3$.

Теперь найдем площадь поверхности куба. Площадь одной из граней куба равна а^2.

Так как наше сечение проходит через точку М, которая является серединой ребра, то оно делит грань куба на две равные части, то есть площадь одной половины грани равна S$MPQ$/2 = 9√3/2.

Так как у куба 6 граней, то площадь поверхности куба равна 6 S$MPQ$/2 = 3 9√3 = 27√3 см^2.