Для начала найдем высоту призмы. Так как меньшее диагональное сечение является стороной квадрата, то пусть длина стороны квадрата равна а см. Тогда квадрат можно разбить на два равнобедренных треугольника, в каждом из них углы при основании будут равны 60 градусов.

Зная это, мы можем выразить высоту призмы через длину стороны квадрата:
h = asin 60° = a √3 / 2

С учетом данного выражения, найдем объем призмы:
V = S_основания h = (8 a) (a √3 / 2) = 4a^2 * √3

Осталось лишь найти длину стороны квадрата a:
a = 8 / √2 = 4√2

Теперь можем выразить объем призмы через длину стороны квадрата:
V = 4 (4√2)^2 √3 = 4 32 √3 = 128√3 кубических см

Ответ: объем призмы равен 128√3 кубических см.