Для начала найдем длину боковой грани пирамиды. Поскольку косинус плоского угла при основании равен 1/(корень из трёх), то синус этого угла равен корень из трех / 2. Таким образом, отношение длины высоты к длине боковой грани равно корень из трех / 2.

Заметим, что боковая грань пирамиды вместе с половиной диагонали основания и высотой образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, получаем:

(длина боковой грани)^2 = (половина диагонали)^2 + (высота)^2.

У нас есть длина боковой грани (6 корень из трёх / 2) и основание пирамиды - правильный четырехугольник, то есть длина диагонали равна 6 корень 2. Подставляем значения:

(6 корень из трёх / 2)^2 = (6 корень из 2 / 2)^2 + (высота)^2,
36 (3 / 4) = 36 / 4 + (высота)^2,
27 = 9 + (высота)^2,
(высота)^2 = 18,
высота = корень из 18 = 3 корень из 2.

Таким образом, высота пирамиды равна 3 * корень из 2.