Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Пусть $D$ и $E$ - середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, а $H$ - точка пересечения высоты $AH$ с основанием $AC$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AD = DB$ и $BC = BA$. Также из определения середины следует, что $AD = DB = \frac{AB}{2}$ и $AE = EC = \frac{AC}{2}$.

Из условия задачи известно, что проведена высота $AH$, которая перпендикулярна к основанию $AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $AHE$. Из построения треугольника видно, что он является прямоугольным, так как угол $HAE$ прямой. Также известно, что $AH = HE$, так как это отрезки высоты.

Таким образом, треугольник $AHE$ имеет две равные стороны, что делает его равнобедренным. Следовательно, угол $AHE$ также равен углу $AEH$ и треугольник $AHE$ равнобедренный.

Из равнобедренности треугольника $AHE$ следует, что высота $AH$ проведена к основанию $AC$ перпендикулярно отрезку $DE$, который соединяет середины боковых сторон, что и требовалось доказать.