окружности.

Для начала найдем длину стороны правильного треугольника. Поскольку окружность описана вокруг треугольника, ее радиус равен радиусу описанной окружности. Длина окружности равна 15π, следовательно, длина радиуса равна 15.

Зная, что радиус описанной окружности равен стороне треугольника деленной на 2, получаем:
15 = a/2
a = 30

Таким образом, сторона правильного треугольника равна 30. Для нахождения радиуса вписанной окружности, воспользуемся формулой: R = a/(2√3), где a - длина стороны треугольника.

R = 30/(2√3)
R = 15/√3
R = 5√3

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 5√3.