Для начала найдем объем тела, образованного вращением треугольника вокруг гипотенузы.

Пусть катеты треугольника равны a и a, а гипотенуза равна 10.
Объем такого тела можно вычислить по формуле V = (π a^2 h) / 3, где h - длина гипотенузы (10) и а - катет.

Так как треугольник равнобедренный, то a = h / sqrt(2) = 10 / sqrt(2).

Теперь подставим полученные значения в формулу объема:
V = (π (10/sqrt(2))^2 10) / 3 = (π 100/2 10) / 3 = (π * 500) / 3

Теперь найдем радиус шара, объем которого равен объему тела. Объем шара можно вычислить по формуле V = (4/3) π r^3, где r - радиус шара.
Таким образом, r^3 = (3/4) * V / π.

Подставим значение объема тела:
r^3 = (3/4) (π 500) / 3π = 125

Из этого получаем, что радиус шара равен кубическому корню из 125.
r = ∛125 = 5

Ответ: радиус шара, объем которого равен объему тела, равен 5.