Для начала найдем длину гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как у нас катет равен 4 см, то и другие стороны треугольника также равны 4 см. По теореме Пифагора:

(c^2 = a^2 + b^2)

где (c) - гипотенуза, (a) и (b) - катеты.

Подставляем значения:

(c^2 = 4^2 + 4^2\
c^2 = 16 + 16\
c^2 = 32\
c = \sqrt{32} \approx 5,6569\text{ см})

Теперь найдем проекцию гипотенузы на плоскость, проходящую через катет и образующую с плоскостью треугольника угол 30 градусов. Эта проекция будет лежать на высоте, опущенной из вершины прямого угла треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный гипотенузой, проекцией гипотенузы и высотой. Угол, образованный гипотенузой и проекцией гипотенузы равен 30 градусов, а угол между проекцией и высотой треугольника также равен 30 градусов (как комплементарные углы).

Таким образом, в прямоугольном треугольнике длина проекции гипотенузы на плоскость будет равна половине длины гипотенузы треугольника, на которую опущена высота:

(длина\ проекции = \frac{c}{2} = \frac{5,6569}{2} \approx 2,82845\text{ см})

Итак, длина проекции гипотенузы на плоскость равна примерно 2,82845 см.