Пусть стороны треугольника ABC равны a, b, c.
Пусть r - радиус вписанной окружности.

Известно, что BM=6, AP=5, CK=7. Мы знаем, что BM=BP, AP=AK и CK=CM.

Тогда AM = AK + KM = 5 + r
BM =BP = 6
CM = CK + KM = 7 + r

Из этого следует, что
a = AM + BM = (5 + r) + 6 = 11 + r
b = BM + CM = 6 + (7 + r) = 13 + r
c = AM + CM = (5 + r) + (7 + r) = 12 + 2r

Периметр треугольника ABC равен a + b + c = 11 + r + 13 + r + 12 + 2r = 36 + 4r

Также известно, что площадь треугольника ABC равна полупериметру треугольника, умноженному на радиус окружности:
S = (a+b+c)/2 r
S = (36 + 4r)/2 r
S = 18r + 2r^2

Также площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона:
S = √p(p-a)(p-b)(p-c),
где p - полупериметр треугольника:
p = (a+b+c)/2 = (36+4r)/2 = 18 + 2r.

Тогда подставим площадь треугольника ABC из формулы Герона в полученное уравнение:
18r + 2r^2 = √(18 + 2r)(18 + 2r - 11 - r)(18 + 2r - 13 - r)(18 + 2r - 12 - 2r)
18r + 2r^2 = √(18 + 2r)(7 + r)(5)(6)
18r + 2r^2 = √(18 + 2r)(42 + 7r)

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(18r + 2r^2)^2 = (18 + 2r)(42 + 7r)
324r^2 + 72r^3 + 4r^4 = 756 + 126r + 84r + 14r^2
4r^4 + 72r^3 + 324r^2 + 14r^2 - 210r - 756 = 0
4r^4 + 72r^3 + 338r^2 - 210r - 756 = 0

Решив это уравнение, найдем значение радиуса окружности r. После этого можем найти периметр треугольника ABC.