Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тем, что расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно радиусу шара.

Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона:
s = (a + b + c) / 2 = (9 + 10 + 17) / 2 = 18

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(18(18-9)(18-10)(18-17)) = 36√2

Теперь найдем радиус вписанной окружности в треугольник по формуле:
r = S / p = 36√2 / 18 = 2√2

Теперь найдем расстояние от центра шара до плоскости треугольника:
h = 3 + 2√2 = 3 + 2*1.41 = 3 + 2.82 = 5.82 см

Итак, расстояние от плоскости треугольника до центра шара равно 5.82 см.