Для начала найдем длину стороны АС в прямоугольном треугольнике АВС. Из условия известно, что угол А = 40 градусов, значит угол С = 180 - 90 - 40 = 50 градусов. Так как угол В = 90 градусов, то сторона АС является гипотенузой в треугольнике АВС, следовательно, sin(40) = AC/AB. Отсюда AC = AB sin(40) = 3 sin(40) ≈ 1.931 см.

Также в треугольнике АВС известна сторона АВ = 3 см, поэтому BC = AC tan(40) ≈ 1.931 tan(40) ≈ 1.516 см.

Далее для треугольника МNK известно, что KN = 9 см и углы M, N, K относятся как 5:9:4, значит сумма этих углов равна 180 градусов. Пусть угол M = 5x, угол N = 9x, угол K = 4x.

Из теоремы синусов для треугольника МNK: sin(M) / MN = sin(N) / KN = sin(K) / MK. Подставляя найденные значения, получаем: sin(5x) / MN = sin(9x) / 9 = sin(4x) / MK.

Так как sin(5x) / sin(4x) = sin(5x) / sin(9x) sin(9x) / sin(4x), и sin(5x) / sin(9x) = 5/9, sin(9x) / sin(4x) = 9/4, то sin(5x) / sin(4x) = 5/9 9/4 = 5/4.

Осталось выразить сторону MN через KN: MN = 9 sin(5x) / sin(9x) = 9 5/9 = 5 см.

Таким образом, отношение BC к NM равно 1.516 / 5 ≈ 0.3032.