В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC=3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение BF:FA.
В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC=3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение BF:FA.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим длину стороны треугольника АВС как а, то есть AB = AC = а.
Так как NC = 3BN, то NC = 3/4 BC и BN = 1/4 BC. Заметим, что MN || BC, так как треугольники АМС и АСB подобны по двум углам, и у них соответственные стороны пропорциональны.
Из подобия треугольников АМС и АСB:
MC / AC = MA / AB,
MC / а = а / а,
MC = а^2 / а = а.
Так как MN || BC, то из подобия треугольников АМN и АBC:
MN / BC = MA / AB,
MN / а = а / а,
MN = а^2 / а = а.
Далее, из подобия треугольников АNF и АBC:
NF / BF = NA / BA,
NF / BF = (BA + AN) / BA,
NF = BF + BN = BF + 1/4 * а.
Из подобия треугольников АМF и АBC:
MF / CF = MA / CA,
MF / (NC + CF) = а / а,
MF / (NC + CF) = 1,
MF = NC + CF = 7/4 * а.
Таким образом, NF = 7/4 а, а следовательно:
BF + 1/4 а = 7/4 а,
BF = 6/4 а,
BF = 3/2 * а.
Так как AF = AB - BF = а - 3/2 а = 1/2 а, отношение BF:FA равно:
BF / FA = 3/2 а / 1/2 а = 3:1.
Ответ: BF:FA = 3:1.