Найдем высоту боковой грани правильной треугольной призмы. Обозначим ее за h.
Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех трех боковых граней:
108 см^2 = 3 (1/2 a h),
где а - длина стороны треугольника, h - высота боковой грани.
Из уравнения получаем: а h = 72 см^2.

Из условия задачи известно, что диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания призмы под углом 45 градусов. Разделим треугольник на два равносторонних треугольника, один из которых образуется наклонной стороной. Так как у нас правильный треугольник, то каждый угол на плоскости равен 60 градусам (180 / 3).
Получаем, что простой треугольник имеет угольник 30-60-90 и стороны a — катет, a√3 — гипотенуза. Так как дана диагональ, то ее длина равна 2a√3.
Таким образом, h = a √3.

Подставим найденное значение h в изначальное уравнение: a a √3 = 72,
a^2 = 24 /√3,
a = 4√3.

Теперь можно найти объем призмы:
V = (1/2 a h) a,
V = (1/2 4√3 4√3) 4√3,
V = (163) 4√3,
V = 48 * 4√3,
V = 192√3.

Ответ: объем призмы равен 192√3 кубических сантиметров.