Пусть AB = BC = a, AE = 4x, BE = 9x, AC = y.

Так как BD - биссектриса, то AD = DC = a.

Из условия BD + AC = 14 получаем a + y = 14.

Так как DE перпендикулярна AB, то треугольник ADE прямоугольный. Поэтому применим теорему Пифагора к треугольнику ADE:

AD^2 + DE^2 = AE^2
a^2 + (4x)^2 = (9x)^2
a^2 + 16x^2 = 81x^2
a^2 = 65x^2

Так как AB = BC = a, то у треугольника ABC все стороны выражаются через a:

AB = a
BC = a
AC = a + y

Периметр ABC равен сумме длин всех сторон:

P = AB + BC + AC
P = a + a + a + y
P = 3a + y

Выразим a через x из предыдущего уравнения:

a^2 = 65x^2
a = sqrt(65)x

Тогда периметр ABC выражается через x и y следующим образом:

P = 3sqrt(65)x + y

Также, учитывая, что a + y = 14, можем выразить y через x:

y = 14 - a
y = 14 - sqrt(65)x

Зафиксируем x, зная что AE:BE = 4:9, найдем x:

4x/9x = 4/9
x = 9

Теперь можем найти все стороны треугольника и его периметр:

a = sqrt(65)9 = 3sqrt(65)
y = 14 - 3sqrt(65)
P = 3sqrt(65)3 + (14 - 3sqrt(65)) = 9sqrt(65) + 14 - 3sqrt(65) = 6sqrt(65) + 14

Итак, периметр треугольника ABC равен 6sqrt(65) + 14.