Пусть ABC - остроугольный треугольник с высотами AD и BE, проведенными из вершин A и B соответственно. Так как треугольник остроугольный, то высоты AD и BE перпендикулярны сторонам BC и AC соответственно.

Проведем высоту CF, проведенную из вершины C. Так как угол ACB тупой, то точка F лежит внутри треугольника ABC.

Так как треугольник ABC остроугольный, то CF является его высотой, иначе треугольник ABC был бы тупоугольным. Следовательно, CF перпендикулярна стороне AB.

Так как ADFB и BEFC являются прямоугольными четырехугольниками с равными углами, то они подобны. Из подобия прямоугольных четырехугольников следует, что отношение сторон CF/BE = FD/BD = DA/AC.

Так как AD и BE - высоты равнобедренного треугольника ABC, то AD = BE. Следовательно, CF = BE.

Аналогично доказывается, что CF = AD.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом в точке C. Проведем медиану CM из вершины C, которая делит гипотенузу AB пополам.

Треугольник AMC и треугольник BMC являются подобными по стороне CM и общему углу при вершине C.

Из подобия треугольников следует, что отношение сторон AM/CM = CM/BM. Так как CM является медианой и делит гипотенузу пополам, то AM = BM = CM.

Следовательно, медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.