Обозначим длину гипотенузы как с, а длины катетов как х и у соответственно. Так как проекция катетов на гипотенузу относится как 1:16, то имеем:
x/c = 1/16,
y/c = 16/1.

Также, из условия задачи следует, что x + y = 4 (высота прямоугольного треугольника), а также из теоремы Пифагора, имеем x^2 + y^2 = c^2.

Теперь можем подставить найденные соотношения и решить систему уравнений:
(1/16)c + 16c = 4,
(1/256)c^2 + (256)c^2 = c^2.

Решая эту систему, получим c = 16, x = 1, y = 3.

Итак, проекция катетов на гипотенузу равна 1 см и 3 см.