Для доказательства этого утверждения обозначим вершины треугольника как A, B и C, а точки пересечения прямых со сторонами треугольника как D, E и F, как показано на рисунке.

Так как прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая его периметр пополам, делит каждую сторону треугольника пополам, то отрезки AD, BE и CF равны. Также можно заметить, что отрезки AB, BC и AC делятся точками D, E и F соответственно пополам.

Теперь рассмотрим треугольники ADF, BEA и CFB. Они все являются треугольниками общей базы с равными отрывками базы и равными высотами, следовательно, они равновелики.

Из этого следует, что площади треугольников ADF, BEA и CFB равны, и, таким образом, точки D, E и F лежат на одной прямой, проходящей через их общую точку пересечения. Таким образом, все прямые, проходящие через вершины треугольника и делящие его периметр пополам, пересекаются в одной точке.