Пусть внутренний угол правильного многоугольника равен x градусов, тогда внешний угол равен 4x градусов.

Так как сумма углов внутри многоугольника равна 180(n-2), где n - количество сторон многоугольника, то имеем уравнение:
nx = 180(n-2).
nx = 180n - 360,
x = 180 - 360/n.

Так как внутренний угол равен x, то периметр многоугольника будет равен P = n*21.

Таким образом, периметр многоугольника равен P = n21 = n(180 - 360/n) = 180n - 360.

Радиус вписанной окружности равен половине диагонали четырехугольника, поэтому длина диагонали равна 2*42π = 84π см. Также длина диагонали равна диаметру описанной окружности, следовательно радиус описанной окружности равен 42π см.

Площадь круга равна S = πr^2 = π(42π)^2 = 1764π.

1) Длина дуги будет равна L = rα, где α - измеряемый в радианах угол. Переведем угол в радианы: α = 45º(π/180) = π/4. Тогда L = 84см * π/4 = 21π см.

2) Площадь сектора равна S = (1/2)r^2α = (1/2)84^2(π/4) = 882π см^2.

3) Площадь сегмента можно найти как разность площадь сектора и треугольника, образованного радиусом и хордой сектора. Площадь треугольника равна (1/2)r^2sin(α), где sin(α) = sin(π/4) = √2/2.

Таким образом, S = 882π - (1/2)84^2(√2/2) = 882π - 2352.