Для начала построим треугольник ABC и окружность, вписанную в него.

Так как точка О - центр окружности, то вертикальные прямые, проведенные из точек M, N, K к центру О, делят дуги, прилегающие к данным сторонам на равные части.

Из угла вписанного треугольника можно выразить угол BAM как 180-62-68= 50 Так как радиус окружности соединяет точку M с точкой касания точка A, то угол OAM = 90-50/2 = 65 То же самое верно для угол OAK и гипотенузы МК
Три точки О, К и А образуют прямой угол, тогда по теореме углов на окружности получаем угол А= 90+65=155
Из угла вписанного треугольника можно выразить угол CNB как 180-62-68= 50 Отсюда BI=IC=AM
Так как BI = CN и IC = AN, тогда можно записать просто равенство (CNB+BI+AN)=180
То же самое верно для угла и точек N
Три точки O, B, и C образуют прямой угол, тогда угол В равен половине этого угла т.е 180/2 = 90
Из угла вписанного треугольника можно выразить угол ANM как 180-62-68= 50 Так как радиус окружности соединяет точку M с точкой касания точка A, то угол OAM = 90-50/2 = 65*
То же самое верно для угол OAN и гипотенузы MN
Три точки О, A и М образуют прямой угол, тогда по теореме углов на окружности получаем угол М= 90+65=155

Получаем, что дуги MK= 265 = 130
NK = 290 = 180
MN = 2*65 = 130
углы N и M обновлены в том числе будут равны 180-155=25°
угол K останется неизменным = 90°