Из условия задачи треугольник АВС остроугольный, так как сумма квадратов катетов (в данном случае АВ и ВС) больше квадрата гипотенузы (в данном случае АС).

Найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона:
П = √(p(p - АВ)(p - ВС)(p - АС)), где p - полупериметр треугольника, равный сумме всех сторон, деленной на 2. В данном случае p = (5 + 5 + 8)/2 = 9.

П = √(9(9 - 5)(9 - 5)(9 - 8)) = √(944*1) = √(144) = 12.

Так как медиана делит каждую сторону пополам, площадь треугольника, образованного этой медианой и катетом (например, АК и АВ), также равна 12. Таким образом, треугольник АКМ также имеет площадь 12.

Так как треугольник АКМ - прямоугольный, его площадь можно найти по другой формуле: П = 1/2 АК ВМ. Подставим известные значения:
12 = 1/2 АК ВМ.

Также, по условию, точка М - точка пересечения медианы и биссектрисы. Поскольку биссектриса делит противоположный ей угол пополам, угол АМС = угол МСВ, поэтому МВ является медианой треугольника АВС. Из этого следует, что АМ = МС = 4, ВС = 5.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ВСМ:
ВС^2 = ВМ^2 + МС^2.
5^2 = ВМ^2 + 4^2,
25 = ВМ^2 + 16,
ВМ^2 = 25 - 16,
ВМ^2 = 9,
ВМ = 3.

Теперь подставим значение ВМ в уравнение для площади треугольника АКМ:
12 = 1/2 АК 3,
24 = АК * 3,
АК = 24 / 3,
АК = 8.

Итак, ВМ равно 3 м., а АК равно 8 м.