Для составления уравнения окружности, касающейся двух параллельных прямых, нам необходимо найти их общую внешнюю касательную.

Сначала найдем уравнение общей внешней касательной к данным прямым. Для этого найдем угол наклона прямых и положим его равным углу между общей касательной и осью абсцисс.

Уравнение прямых L1 и L2 имеет вид 4x + y + 2 = 0 и 4x + y - 8 = 0. Угол наклона прямых равен арктангенсу коэффициента при x, то есть tg(θ) = 4, значит θ = arctg(4).

Угол между прямой и осью абсцисс отражает tg этого угла, поэтому он равен -1/4.

Значит, уравнение общей внешней касательной к прямым L1 и L2 имеет вид y = -1/4*x + b.

Далее построим уравнение окружности, касающейся прямых L1 и L2 и проведенной к ним касательной.

Пусть координаты центра окружности равны (h, k), тогда уравнение окружности имеет вид: (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.

Учитывая условие касания окружности с касательной, можем записать вышеуказанное уравнение в виде (h-r)^2 = k + 1/4*h + b.

Таким образом, уравнение окружности, касающейся прямых L1: 4x + y + 2 = 0 и L2: 4x + y - 8 = 0, будет иметь вид:

(h-r)^2 + (k+b)^2 = (1/4*h + b)^2.