Пусть точка касания окружности с стороной BC делит сторону BC на отрезки m и n, при этом m+n=BC.
Также пусть угол А обозначим как α.

Тогда площадь треугольника ABC можно найти по формуле:
S = (m + n) * r / 2,
где r - радиус вписанной окружности.

Для того чтобы найти радиус вписанной окружности, воспользуемся формулой для площади треугольника через радиус вписанной окружности:
S = p * r,
где p - полупериметр треугольника, равный (BC + AB + AC) / 2.

Имеем следующее:
p = (m + n + AB + AC) / 2 = (m + n + ctn(α/2) + ctn(β/2)) / 2,
где β - угол, противолежащий стороне BC.

Таким образом радиус вписанной окружности:
r = S / p = ((m + n) * r / 2) / ((m + n + ctn(α/2) + ctn(β/2)) / 2).

И, наконец, площадь треугольника ABC равна:
S = (m + n) r / 2 = ((m + n) ((m + n) * r / 2) / ((m + n + ctn(α/2) + ctn(β/2)) / 2).

Получив значения радиуса r и периметра треугольника BC, подставляем их в формулу и вычисляем площадь треугольника ABC.