Первый признак параллельности прямых: Если две прямые пересекаются с третьей прямой так, что сумма внутренних углов, образованных пересечением с данной третьей прямой на одной из прямых, равна 180 градусов, то эти две прямые параллельны.

Доказательство: Предположим, что прямые ( l ) и ( m ) не параллельны и пересекаются с третьей прямой ( n ) так, что сумма внутренних углов, образованных пересечением с прямой ( n ) на прямых ( l ) и ( m ), равняется 180 градусов.

Пусть точка пересечения прямых ( l ) и ( n ) обозначается как ( A ), а точка пересечения прямых ( m ) и ( n ) обозначается как ( B ). Тогда угол между прямыми ( l ) и ( n ) равен углу ( \angle ANB ), а угол между прямыми ( m ) и ( n ) равен углу ( \angle BNA ).

Таким образом, получаем: ( \angle ANB + \angle BNA = 180^\circ ), так как исходное предположение гласило, что сумма углов при пересечении с третьей прямой равна 180 градусов.

Но это означает, что углы ( \angle ANB ) и ( \angle BNA ) составляют смежные углы на одной прямой и в сумме дают 180 градусов, что невозможно, если прямые ( l ) и ( m ) не параллельны. Следовательно, прямые ( l ) и ( m ) должны быть параллельными.