Пусть дан круг с центром O и хорды AB и CD, перпендикулярные между собой и пересекающиеся в точке M. Пусть AM = MB.

Так как хорда AB перпендикулярна CD, то угол AMD = угол CMD = 90 градусов.

Так как AM = MB, то треугольник AMD равнобедренный, значит, угол DAB = угол CBA = 90 градусов, то есть AD = DB.

Из того, что AD = DB и CD - диаметр, следует, что хорда AB является диаметром.

Следовательно, если две хорды перпендикулярны и одна из них в точке пересечения делится пополам, то другая является диаметром.