Пусть точка O - точка пересечения стороны AC и касательной к окружности, проведенной из точки A радиусом 2√15. Так как треугольник ABC равнобедренный, то точка O также является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Так как AO:OC = 3:1, то можно представить расстояние от точки O до точки А как 3х, а от точки O до точки С как х. Таким образом, можно построить прямоугольный треугольник ACO, где длина катета равна x, а второй катет равен 3x.

Используя теорему Пифагора, найдем длину гипотенузы треугольника ACO:
x^2 + (3x)^2 = AC^2
10x^2 = 15
x^2 = 1.5
x = √1.5

Теперь мы знаем длину отрезка OC, равную √1.5, и длину отрезка OA, равную 3√1.5.

Так как AO и OC являются радиусами окружностей, то точка O является серединной точкой отрезка AC. Значит, длина основания треугольника ABC равна 2 * √1.5 = √6.

Итак, длина основания треугольника ABC равна √6.