Дано: радиус описанной сферы R = 13 см, расстояние от центра сферы до площади основы h = 5 см.

Пусть а — боковое ребро, а - это радиус сферы.

Так как пирамида правильная трехугольная, то радиус описанной сферы является высотой смежного к боковому гребру треугольника. Также можно заметить, что линии, проведенные из центра сферы к вершинам пирамиды, будут радиусами описанной окружности треугольника пирамиды, ибо радиусы перпендикулярны к сторонам треугольника. Последнее свойство треугольника пирамиды и описанной окружности позволяет нам провести параллельный перенос на b отрезà a.

Рассмотрим сечение, проходящее через середины b и а, оно должно быть параллельно основанию пирамиды (треугольнику). Поскольку b - это основание сечения, а - это высота сечения (построенного около основания b), и перенесём его так, чтобы один из концов этого отрезка бесы лежал на прямой, проведённой перпендикулярно к отрезку в центр основания пирамиды. Теперь, когда мы нашли вторую точку на сечении, можетм сделать вывод, что линии а и а' параллельны основанию, а значит, треугольник (аа'b) - это основание трехугольной пирамиды.
Проведем линию б перпендикулярно b.
Следовательно, R^2=a^2+b^2 и h^2=5^2 = 25=a^2-b^2.
b^2=13^2-25=169-25=144, b=12
Ответ: боковое ребро пирамиды равно 12 см.