Площадь правильного шестиугольника равна $3\surd 3$^2 * √3 = 27√3 см^2.

Для правильного шестиугольника длина стороны равна a, апотем равен s.

Площадь правильного шестиугольника можно выразить через длину стороны и апофем:

27√3 = $6<em>a</em>s$ / 2
27√3 = 3a * s

Так как шестиугольник равносторонний, длина апофема равна высоте, проведенной к середине стороны. Разобьем правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, а для одного из них угол A = 120 градусов.

Используем формулу для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

s = 3a/$2<em>sqrt(3)$ 3a/2 sin$120$ = a^2 sqrt$3$ / 2

Тогда с помощью выражения площади через стороны и апофем, можем найти, что:

27√3 = 3a a^2 sqrt$3$ / 2

27√3 = 3a^3 * sqrt$3$ / 2
54 = a^3
a = 3√2

Теперь найдем длину окружности, вписанной в данный правильный шестиугольник, которая равна:

2π r = 3√2 2 * π = 6π√2

Ответ: длина окружности, вписанной в данный правильный шестиугольник, равна 6π√2.