1) Так как угол между прямой АВ и плоскостью альфа равен 30 градусам, то угол между прямой ВА и плоскостью альфа также равен 30 градусам. Таким образом, треугольник АВА1 является прямоугольным с углом 30 градусов.

Используем тригонометрические функции:
cos 30° = АА1 / АВ
cos 30° = АА1 / 24
АА1 = 24 cos 30°
АА1 = 24 √3 / 2
АА1 = 12√3 см

Так как треугольник ВАВ1 также является прямоугольным:
ВА1 = AB - АА1
ВА1 = 24 - 12√3
ВА1 = 24 - 12 * 1.732
ВА1 = 24 - 20.784
ВА1 = 3.216 см

2) Длина проекции ВА1 наклонной АВ:
Длина проекции ВА1 равна длине наклонной АВ, то есть 24 см.

3) Длина наклонной АВ:
Длина наклонной АВ равна сумме длины перпендикуляра АА1 и длины проекции ВА1:
АВ = АА1 + ВА1
АВ = 12√3 + 15
АВ = 12√3 + 15 см

Длина перпендикуляра АА1:
АА1 = 12√3 см