Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основы, а h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основы. Поскольку основа - правильный четырехугольник, для него справедливо следующее утверждение:

S = (a^2 n) / (4 tg(π / n)),

где a - длина стороны основания, n - количество сторон основания.

У нас дано, что длина диагонали основы равна 8√2. Найдем длину стороны основания, применяя теорему Пифагора:

a = √(2 * (8√2)^2) = 8.

Таким образом, площадь основы равна:

S = (8^2 4) / (4 tg(π / 4)) = 32 / (4 * 1) = 8.

Теперь найдем высоту пирамиды, которая равна апофеме:

h = 5.

Подставляя значения в формулу, получаем:

V = (1/3) 8 5 = 40/3 ≈ 13,33 см^3.

Итак, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 40/3 или приблизительно 13,33 см^3.