Для решения этой задачи нам нужно найти длины сторон четырехугольника.

Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, то примем одну диагональ ромба за главную диагональ, а другую за побочную диагональ.

Пусть длины главной и побочной диагонали ромба равны 10 см и 6 см соответственно. Таким образом, мы можем вычислить длины его сторон применив теорему Пифагора:

а^2 + b^2 = c^2,

где a и b - половины длин диагоналей, c - сторона ромба.

Пусть а = 5 см (половина главной диагонали) и b = 3 см (половина побочной диагонали), тогда:

c = √(5^2 + 3^2) = √(25 + 9) = √34 ≈ 5.83 см.

Теперь найдем длины сторон четырехугольника (ABCD), у которого вершинами являются середины сторон ромба:

AB = BC = CD = AD = c/2 ≈ 5.83/2 = 2.915 см.

Теперь, когда у нас есть длины сторон четырехугольника, мы можем вычислить его площадь. Так как четырехугольник ABCD можно разделить на два треугольника (ABC и ACD) пополам главной диагональю, то площадь четырехугольника равна сумме площадей этих двух треугольников:

S(ABCD) = S(ABC) + S(ACD) = 0.5 AB AC + 0.5 AC AD,

S(ABCD) = 0.5 2.915 5.83 + 0.5 5.83 2.915 = 8.48 кв. см.

Площадь четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон ромба, равна 8.48 кв. см.