Пусть одна из вершин квадрата лежит на точке касания окружности с касательной, а другая - на другой точке касания. Обозначим сторону квадрата за x.

Так как радиус окружности и сторона квадрата образуют прямой угол, то расстояние от вершины квадрата до центра окружности будет равно радиусу R.

Также, так как сторона квадрата является касательной к окружности, то расстояние от вершины квадрата до центра окружности равно расстоянию от вершины квадрата до другой точки касания. Значит, расстояние от вершины квадрата до центра окружности равно x.

Из этих двух уравнений можем составить уравнение:

R^2 = (x/2)^2 + (x/2)^2

R^2 = 2*(x^2)/4

R^2 = x^2 / 2

x^2 = 2R^2

x = sqrt(2)*R

Таким образом, сторона квадрата равна sqrt(2)*R.