Для вычисления объема прямоугольного цилиндра необходимо знать площадь основания и высоту цилиндра.

Площадь основания цилиндра равна S = a * b, где a и b - стороны прямоугольного основания.

Так как диагональ цилиндра равна 4√3, а угол между диагональю и одной из сторон основания равен 30 градусов, то можем найти стороны прямоугольника по теореме косинусов.

cos(30°) = a / (4√3)
a = 4√3cos(30°)
a = 4√3*√3/2
a = 6

Таким образом, стороны прямоугольного основания цилиндра равны 6 и b.

Из задачи также известно, что диагональ прямоугольного основания равна корню из суммы квадратов его сторон, т.е. 4√3 = √(a^2 + b^2). Подставляем значение a = 6 и находим b:

b = √(3)

Теперь можем найти площадь основания цилиндра:

S = 6 * √(3) = 6√3

Объем цилиндра считается по формуле V = S * h, где h - высота цилиндра.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором диагональ является гипотенузой, а одна из сторон a - катетом.

Так как угол между стороной a и диагональю равен 30 градусов, то sin(30°) = h / (4√3), откуда h = 4 / 2 = 2.

Таким образом, объем цилиндра равен V = 6√3 * 2 = 12√3 см³.