Дано: угол С = 90 градусов, BC = 2BD.

Поскольку CD - высота треугольника, то треугольник BCD - прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике BCD по теореме Пифагора:
BC^2 = BD^2 + CD^2
(2BD)^2 = BD^2 + CD^2
4BD^2 = BD^2 + CD^2
3BD^2 = CD^2
CD = √(3BD^2)
CD = BD√3

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Так как он также прямоугольный (угол C = 90 градусов), то можем использовать теорему Пифагора в нем:
AC^2 = AD^2 + CD^2
AC^2 = AD^2 + (BD√3)^2
AC^2 = AD^2 + 3BD^2

Теперь рассмотрим треугольник ABC. В нем также можем использовать теорему Пифагора:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = AB^2 + (2BD)^2
AC^2 = AB^2 + 4BD^2

Так как AB = AD + DB, то:
AC^2 = (AD + DB)^2 + 4BD^2
AC^2 = AD^2 + 2ADDB + DB^2 + 4BD^2
AC^2 = AD^2 + 2ADDB + 5BD^2

Таким образом, мы получили два равенства:
1) AC^2 = AD^2 + 3BD^2
2) AC^2 = AD^2 + 2AD*DB + 5BD^2

Из этих двух равенств следует:
AD^2 + 3BD^2 = AD^2 + 2ADDB + 5BD^2
3BD^2 = 2ADDB + 5BD^2
3 = 2AD/BD + 5
2AD/BD = -2
AD = -BD

Таким образом, мы доказали, что AD = 3DB.