Для начала обозначим длины сторон треугольника как a, b, c, а длины отрезков биссектрисы, проведённых к вершинам треугольника – как a₁ и b₁.

Известно, что биссектриса делит угол на два равных угла, а соответственно произведение двух отрезков, на которые она делит сторону угла, равно произведению сторон самого треугольника. То есть, ac₁=bc₁.

По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника можно получить: a₁²+c₁² = a², аналогично b₁²+c₁²=b².

Преобразуем формулы выше, чтобы получить выражение для c₁²:

a₁² = a² - c₁²
b₁² = b² - c₁²

ac₁ = bc₁
a(a-c₁) = b(b-c₁)
ac₁ - c₁² = ab - bc₁
c₁² = ab - ac₁

Также можем воспользоваться формулой площади треугольника через стороны absin(α)/2 = cc₁*sin(β), где α и β – углы, противолежащие сторонам треугольника длинами c и c₁.

Теперь можем записать формулу длины биссектрисы, выразив из неё c₁²:

c₁² = ab - ac₁

cc₁sin(β) = absin(α)/2
cc₁cos(β) = (a+c₁)(b+c₁)
cc₁ = ab + ac₁ + bc₁ + c₁²
cc₁ = ab + ac₁ + bc₁ + ab - ac₁

2c*c₁ = 2ab + 2ab
c₁ = sqrt(ab - ac₁)

Таким образом, мы доказали формулу длины биссектрисы треугольника: c₁ = sqrt(ab - ac₁).