Для решения этой задачи, воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы треугольника MKN.

По теореме Пифагора:
MK^2 = MN^2 + NK^2

Подставляем известные значения:
MK^2 = MN^2 + 4^2
MK^2 = MN^2 + 16

Также, так как угол M равен 45 градусам, то треугольник MKN является прямоугольным, и мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями для нахождения отношений сторон.

Так как tg(M) = MN/NK = MN/4, а тангенс угла 45 градусов равен 1, то получаем, что MN = 4.

Подставляем этот результат в уравнение, полученное по теореме Пифагора:
MK^2 = 4^2 + 16
MK^2 = 16 + 16
MK^2 = 32

Извлекаем корень из обеих сторон:
MK = √32 = 4√2

Таким образом, MK = 4√2, MN = 4.