Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, боковая сторона (боковое ребро) равно b, а катеты треугольника равны a/2. Площадь треугольника равна S. По условию задачи, проведена высота к гипотенузе и равна 7 см. Отсюда следует, что по теореме Пифагора имеем:
(a/2)^2 + b^2 = c^2,
где c - гипотенуза треугольника, то есть c = a.

Также площадь равнобедренного треугольника можно найти как:
S = 1/2 a h,
где h - высота, равная 7 см.

Используя данные формулы, мы можем найти значения основания, боковой стороны и площади треугольника:

(а/2)^2 + b^2 = a^2,
(a/2)^2 + b^2 = 4b^2 = a^2,
a = 7 * sqrt(5).

b = sqrt(a^2 - (a/2)^2),
b = sqrt((7 sqrt(5))^2 - (7 sqrt(5)/2)^2),
b = sqrt(245 - 61.25),
b = sqrt(183.75),
b ≈ 13.55.

S = 1/2 7 sqrt(5) 7,
S = 24.75 sqrt(5) ≈ 55.52.

Итак, основание равнобедренного треугольника равно 7sqrt(5) см, боковая сторона равна около 13.55 см, и площадь треугольника составляет примерно 55.52 кв. см.