Для правильного треугольника с вписанной в него окружностью примем, что радиус этой окружности равен корню из трех см. Также обозначим сторону треугольника как a.

Так как вписанная окружность касается всех сторон треугольника, то мы можем построить радиусы, проводящиеся из центра окружности к точкам касания с каждой стороной треугольника. Таким образом, мы получаем три равносторонних треугольника между радиусами окружности и сторонами треугольника.

Так как радиус вписанной окружности равен корню из трех см, а радиус является высотой равностороннего треугольника, то три равные высоты образуют сегменты высоты треугольника, каждая из которых делит его на два равнобедренных треугольника. Таким образом, получаем равносторонний треугольник со стороной, равной 2 радиусам окружности, то есть 2 * корень из трех см.

Получаем, что сторона треугольника равна а=2*√3 см.

Площадь правильного треугольника равна S = √3/4 a^2 = √3/4 (2√3)^2 = √3/4 * 12 = 3√3 см^2.

Периметр треугольника равен Р = 3a = 3 * 2√3 = 6√3 см.

Таким образом, периметр треугольника равен 6√3 см, а площадь равна 3√3 см^2.