Пусть точка, из которой проведены касательные, называется точкой A, точки касания назовем В и С, а центр окружности - О. Пусть BC = 4x, а AC = 15x (так как дуги относятся как 4:15).

Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания, треугольники OBC и OAC прямоугольны. Поэтому угол BOC равен углу ABC + углу ACB.

Для нахождения угла ABC воспользуемся теоремой о касательной, проведенной к окружности. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC = 4x), угол ABC равен половине центрального угла в окружности, опирающегося на дугу BC. Пусть центральный угол равен α. Тогда угол ABC равен α/2.

Угол ACB равен α, так как он опирается на дугу AC.

Таким образом, угол BOC = α/2 + α = 3α/2.

Так как дуги относятся как 4:15, центральный угол α, опирающийся на дугу BC, равен 4α/(4+15) = 4α/19.

Тогда угол BOC = 3α/2 = 3*(4α/19)/2 = 6α/19.

Итак, угол между касательными, проведенными из точки A, равен 6α/19.