Для начала рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB = 5 см, AC = 12 см, BC - гипотенуза.
Обозначим точку D - середины гипотенузы BC. Так как средняя линия прямоугольного треугольника параллельна катетам, то треугольник ABD будет подобен треугольнику ADC.

Из подобия треугольников получаем:
BD/ AD = AD / DC

Так как BD = DC, то AD = DC

Таким образом, треугольник ABD является равнобедренным. Значит, DC = 6 см, а AD = 6 см

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник AHD, где H - проекция вершины A на гипотенузу BC.

Из равнобедренного треугольника ABD следует, что AH = AD = 6 см

Теперь применяем теорему Пифагора к треугольнику AHC:
HC^2 + AH^2 = AC^2
HC^2 + 6^2 = 12^2
HC^2 + 36 = 144
HC^2 = 144 - 36
HC^2 = 108
HC = √108
HC = 6√3

Таким образом, высота треугольника, опущенная из вершины прямого угла, равна 6√3 см.