Утверждение: В прямоугольном треугольнике отрезки, проведенные катетами к гипотенузе, делят ее на меньший и больший прямоугольные треугольники, причем эти отрезки имеют пропорциональные длины.

Доказательство:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, в котором угол ACB является прямым.

Проведем высоту CD, которая будет являться одним из катетов, а отрезки AD и BD - другими катетами.

Таким образом, треугольник ABC разобьется на два прямоугольных треугольника ACD и BCD.

По теореме Пифагора для треугольника ACD:
AC^2 = AD^2 + CD^2

По теореме Пифагора для треугольника BCD:
BC^2 = BD^2 + CD^2

Так как AC = BC (гипотенуза) и CD - общая сторона для обоих треугольников, то AD^2 + CD^2 = BD^2 + CD^2, что равносильно AD^2 = BD^2.

Отсюда следует, что AD = BD, то есть отрезки, проведенные катетами к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, имеют пропорциональные длины.