Поскольку угол при вершине C равен 90 градусов, то данный треугольник является прямоугольным. Также известно, что внешний угол при вершине A равен 150 градусов, значит внутренний угол равен 180 градусов минус 150 градусов, то есть 30 градусов. Таким образом, внутренние углы треугольника ABC равны 30, 60 и 90 градусов.

Для описанной около треугольника окружности диаметр равен гипотенузе прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$,
$A{C}^2=12,5^2+12,5^2$,
$A{C}^2=312,5$,
$AC=\sqrt{312,5}\approx 17,68$.

Следовательно, длина диаметра окружности равна 17,68.

Треугольник ABC остроугольный, так как сумма его углов меньше 180 градусов. Углы треугольника равны 45, 30 и 105 градусов.

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле:

$R=\frac{AB}{2\sin A}$,
$R=\frac{10}{2\sin 45}$,
$R=\frac{10}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$,
$R=\frac{10}{\sqrt{2}}$,
$R=\frac{10\sqrt{2}}{2}$,
$R=5\sqrt{2}$.

Следовательно, радиус описанного около треугольника круга равен 5*корень из 2.

Пусть $a$ будет наименьшей стороной треугольника. Тогда мы можем найти большие стороны треугольника, умножив $a$ на соответствующие коэффициенты из пропорции 2:3:7. Получим, что стороны треугольника равны 2a, 3a и 7a.

Радиус описанного около треугольника окружности можно найти по формуле:

$R=\frac{abc}{4S}$,

где $a$, $b$, $c$ - стороны треугольника, $S$ - площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,

где $p$ - полупериметр треугольника $(p=\frac{a+b+c}{2})$.

Подставляя все значения, получим окончательный ответ.