Для нахождения стороны AC воспользуемся тригонометрическими функциями.

Обозначим сторону AB за a, сторону BC за b, сторону AC за c, угол BAC за α, угол BCA за β.

Так как высота BH проведена из вершины A, то треугольник ABC разбит на два прямоугольных треугольника: ABH и CBH.

Из прямоугольного треугольника ABH имеем:
sin(β) = BH / AB,
cos(β) = AH / AB.

Из прямоугольного треугольника CBH имеем:
sin(α) = BH / BC,
cos(α) = CH / BC.

Так как тангенс угла α равен катету противолежащему деленному на катет прилежащий (cot(α) = BH / CH), то с помощью угла α и угла β мы можем найти значение тангенса угла β: tg(β) = cot(α).

Найдем значение tg(β):
tg(β) = cot(α),
tg(β) = (BH / CH) = (BH / (AC - AH)),
tg(β) = 4 / (c - 4).

Так как tg(β) равен cot(α), то тангенс угла β равен катету противолежащему деленному на катет прилежащей:
tg(β) = (BH / AC),
tg(β) = 4 / c.

Из этих двух уравнений:
4 / (c - 4) = 4 / c,
4c = 4(c - 4),
4c = 4c - 16,
16 = 0.

Уравнение не имеет смысла, так как мы получили противоречивое уравнение. Возможно, в условии задачи допущена ошибка.