Пусть основания перпендикуляров из точек М и N к прямой L обозначены точками P и Q соответственно. Так как прямая L - линия пересечения плоскостей альфа и бета, то она перпендикулярна к обеим этим плоскостям.

Так как расстояния от точек М и N до прямой L равны 6 см и 7 см соответственно, то треугольники MPL и NQL - прямоугольные, где PL и QL - высоты этих треугольников.

Так как плоскости альфа и бета перпендикулярны, то треугольники MPL и NQL подобны, поэтому:

\frac{MP}{NL} = \frac{PL}{QL}

По условию, MN = √110 см, а также MP = 6 см, NL = 7 см. Пусть PL = х и QL = у. Тогда:

\sqrt{110} = √(MP^2 + NL^2) = √(36 + 49) = √85 = √(x^2 + y^2)

Получим уравнение:

x^2 + y^2 = 85

Так как треугольники MPL и NQL прямоугольные, то по теореме Пифагора:

PL^2 + MP^2 = PM^2
QL^2 + NL^2 = NQ^2

Подставляем известные значения и находим уравнение:

x^2 + 36 + y^2 = PM^2
x^2 + y^2 + 49 = NQ^2

Поскольку PM = NQ, то:

36 = 49
это невозможно
т.е. точки P и Q совпадают
Следовательно, расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из точек М и N к прямой L, равно 0.