Теорема: Окружность, вписанная в правильный многоугольник, описывает внутри него еще один правильный многоугольник.

Доказательство:

Пусть дан правильный многоугольник с n сторонами и вписанная в него окружность. Проведем радиусы от центра окружности к точкам пересечения окружности с сторонами многоугольника.

Так как углы правильного многоугольника равны, то радиус окружности, проведенный к точке касания стороны многоугольника, будет делить угол многоугольника пополам. Таким образом, у нас образуется n треугольников, в каждом из которых угол при вершине равен 360/n градусов.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то угол при вершине одного из таких треугольников будет равен 180/n градусов.

Следовательно, окружность, проведенная через точки касания окружности с многоугольником, будет описывать внутри него правильный многоугольник, у которого каждый угол при вершине будет равен 180/n градусов, что и требовалось доказать.