Пусть точка Е делит диагональ AC на две отрезка AE и EC в отношении k:1. Так как диагональ AC равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне CD, то треугольники ADE и CDE являются прямоугольными.

Так как основания трапеции равны 10 и 8 см, то CD = 10 см и AB = DC = 8 см.

Из прямоугольных треугольников ADE и CDE можем записать:

AE^2 + DE^2 = AD^2 = AB^2 + BD^2 = 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164,
EC^2 + DE^2 = CD^2 = 10^2 = 100.

Домножим первое равенство на k^2, второе на (1-k)^2, а затем сложим их, чтобы убрать неизвестное k:

k^2AE^2 + k^2DE^2 + (1-k)^2EC^2 + (1-k)^2DE^2 = k^2AD^2 + (1-k)^2CD^2,
k^2164 + (1-k)^2100 = k^2164 + (1-k)^2100,
164k^2 + 100(1-k)^2 = 164k^2 + 100(1-k)^2,
164k^2 + 100 - 200k + 100k^2 = 100.

Упростим и решим полученное квадратное уравнение:

164k^2 + 100 - 200k + 100k^2 = 100,
264k^2 - 200k = 0,
k(264k - 200) = 0,
k = 0 или k = 200/264 = 25/33.

Так как k > 0 и k < 1, то k = 25/33.

Значит, AE:EC = 25:33.