Для решения этой задачи нам понадобится формула площади четырехугольника через его диагонали.

Площадь четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1/2 d1 d2 * sin(α),

где d1 и d2 - длины диагоналей, а α - угол между диагоналями.

Мы знаем, что длины диагоналей равны 8 и 5, поэтому S = 1/2 8 5 * sin(α).

Также нам дано, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон равны между собой. Если обозначить длину каждого такого отрезка как m, то мы можем записать следующее:

m = 1/2 sqrt((a^2 + b^2 - 2abcos(α))),

где a и b - длины сторон четырехугольника.

Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны между собой, поэтому:

m = 1/2 sqrt((c^2 + d^2 - 2cdcos(β))),

где c и d - длины других сторон четырехугольника.

Из этого можно выразить sin(α) и sin(β):

sin(α) = sqrt(1 - cos^2(α)) = sqrt(1 - (a^2 + b^2 - m^2)/(2ab))^2,

sin(β) = sqrt(1 - cos^2(β)) = sqrt(1 - (c^2 + d^2 - m^2)/(2cd))^2.

Из этих равенств мы можем выразить sin(α) и sin(β) через a, b, c, d и m.

Теперь мы можем подставить значения диагоналей и получить площадь четырехугольника.