Пусть ABCD - параллелограмм с перпендикулярными диагоналями.

Так как диагонали параллелограмма перпендикулярны, то у них точка пересечения будет серединой обеих диагоналей. Обозначим ее точкой O.

Так как диагонали пересекаются в точке O и делятся им на две равные части, то по свойствам параллелограмма, диагонали также разделяются на две равные части.

Таким образом, AO = OB = CO = OD.

Аналогично, AD = BC.

Получаем, что все стороны параллелограмма равны между собой.

Так как у ромба все стороны равны, то параллелограмм с перпендикулярными диагоналями, все стороны которого равны, является ромбом.

Таким образом, доказано что параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.