Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту (h) параллелепипеда. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного диагональю меньшей боковой грани, высотой параллелепипеда и радиусом основания параллелепипеда:

(h^2 + 4^2 = 10^2)

(h^2 = 100 - 16)

(h^2 = 84)

(h = \sqrt{84} = 2\sqrt{21})

Теперь можем найти объем параллелепипеда:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле: (V = S{\text{основания}} \times h), где (S{\text{основания}} = 6 \times 8 = 48 \, см^2).

Тогда, (V = 48 \times 2\sqrt{21} = 96\sqrt{21} \, см^3).

Ответ: объем параллелепипеда равен (96\sqrt{21} \, см^3).