Пусть BC=x, AC=y.

Так как радиус вписанной окружности равен 10/3, то r=10/3.
Также известно, что площадь треугольника ABC равна площади треугольника AIB+CIB.
Площадь треугольника ABC можно выразить через полупериметр треугольника, его радиус и площадь, которую можно найти по формуле s=(a+b+c)/2 через стороны треугольника:

S = (AC+BC+AB)r/2 = (x+y+13)10/6

Площадь треугольника AIB и CIB

S1 = r AB/2 = 10/313/2 = 65

Так как сумма длин сторон AC и BC равна 23, то:
x+y=23

Из условия площадей:

65= (x+y+13)10/6 - 2*65
65=(23+13)x/6-130
65=72x/6-130
65=12x-130
12x=195
x=195/12
x=16.25

y=23-16.25
y=6.75

Ответ: AC=6.75, BC=16.25.